Question

已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－．求cos2α和cos2β的值．

Answer 1

答案：
解析：

解∵＜β＜α＜，∴＜α＋β＜．又∵sin(α＋β)＝－＜0， 　　∴π＜α＋β＜，－＜－β＜－，∴－＜α－β＜． 　　又∵α＞β，∴α－β＞0．∴0＜α－β＜． 　　∴sin(α－β)＝ 　　cos(α＋β)＝－ 　　∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) 　　＝ 　　cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 　　＝ 　　分析：本题由角α、β的范围可求出α＋β和α－β的范围．由已知条件和关系式sin2α＋cos2α＝1可求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，再将2α、2β分别表示为α＋β与α－β的和与差，便可由两角和与差的余弦公式求值．此题若将cos(α－β)和sin(α＋β)展开计算，则相当繁琐．

提示：

本题的关键是：(1)利用α、β的范围正确求出α＋β、α－β的范围； 　　(2)利用sin2α＋cos2α＝1求sin(α－β)、cos(α＋β)时注意开方后取正还是取负； 　　(3)灵活变角2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．