Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2），且在点P处的切线斜率为8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-1，1]的最值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵函数f（x）的图象过点P（1，2），
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②组成的方程组，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得；
令f'（x）＜0，可得．（7分）
∴函数f（x）的单调增区间为，减区间为．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）在上是减函数，在上是增函数．
∴f（x）在区间[-1，1]的最小值为． （11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（x）在区间[-1，1]的最大值为f（-1）=6．
∴函数f（x）在[-1，1]上的最小值为，最大值为6．（13分）
分析：（I）本题运用待定系数法求函数解析式，但函数图象在某点的切点的斜率需要运用导数性质求出，即可
（II）由导数性质求出f'（x）＞0和f'（x）＜0的x范围就是函数f（x）的单调区间
（III）由函数在区间[-1，1]上的单调性：f（x）在上是减函数，在上是增函数求出函数的最值
点评：此题将高中学段导数的运用按层层递进的方式展示出来，既考查学生的基本能力，在第（III）问考查学生的函数最值问题，环环相扣，一步错，满盘输！