Question

一袋中装有大小相同的3个红球，4个黑球，C现从中随机取出4个球．
（Ⅰ）求取出的红球数X的概率分布列和数学期望；
（Ⅱ）若取出一个红球得2分，取出一个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率，做出分布列和期望值．
（II）依题意可知本题是一个等可能事件的概率，当且仅当取出4个黑球或3个黑球、1个红球时得分不超过5分，根据上一问做出的事件总数，做出概率．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，变量的可能取值是0，1，2，3
p(X=0)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

；p(X=1)=

C 3 4 • C 1 3

C 4 7

=

12

35

；
p(X=2)=

C 2 4 • C 2 3

C 4 7

=

18

35

；p(X=3)=

C 1 4 • C 3 3

C 4 7

=

4

35

．
∴分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

∴数学期望EX=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

（Ⅱ）依题意可知本题是一个等可能事件的概率，
当且仅当取出4个黑球或3个黑球、1个红球时得分不超过5分，
∴概率为p=

C 4 4 + C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

13

35

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，在解题的过程中，注意变量对应的事件，结合事件和等可能事件的概率公式来求解，本题是近几年新课标高考卷中一定出现的一个题目类型．