Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=+，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，化为，由于a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即可转化为等比数列，进而得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．
解答：（1）证明：由已知，∴，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即，
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
∴=，
∴（*）．
 由（*）式得．
（2）∵，
∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴，
∴，
又，
∴．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=．
∵，
∴．
点评：熟练掌握利用取对数法把已知转化为等比数列问题求解、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”法等是解题的关键．