Question

2．有下列四个命题：
①函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$为奇函数；
②函数$y=\sqrt{3-2x-{x^2}}$的值域为{y|y≥0}；
③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则a的取值集合为$\{-1，\frac{1}{3}\}$；
④定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2-m）＜f（m），则m∈（-∞，1）；
⑤若函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{（{k^2}+4k-5）{x^2}-4（k-1）x+3}}}$的定义域为R，则实数k∈[1，19）∪{-5}．
其中，正确的命题为①④⑤．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由函数奇偶性的定义判断①；直接求出函数的值域判断②；求出满足A∪B=A的a的值判断③；由偶函数的性质结合f（2-m）＜f（m）求得m的范围判断④；求出使函数定义域为R的k的范围判断⑤．

解答 解：①函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定义域为R，且f（-x）=-x-$\frac{1}{x}=-f（x）$，函数为奇函数，①正确；
②∵3-2x-x²=-（x+1）²+4≤4，∴0≤$\sqrt{3-2x-{x}^{2}}$≤2，函数$y=\sqrt{3-2x-{x^2}}$的值域为{y|0≤y≤2}，②错误；
③集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则B⊆A．
a=0时，B=∅满足；a≠0时，B={$\frac{1}{a}$}，∴$\frac{1}{a}=-1$或$\frac{1}{a}=3$，即a=-1或a=$\frac{1}{3}$．
∴a的取值集合为{0，-1，$\frac{1}{3}$}，③错误；
④定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2-m）＜f（m），则|2-m|＞|m|，解得m∈（-∞，1），④正确；
⑤若函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{（{k^2}+4k-5）{x^2}-4（k-1）x+3}}}$的定义域为R，则（k²+4k-5）x²-4（k-1）x+3＞0对任意实数x恒成立．
当k=1时成立；当k≠1时，则$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+4k-5＞0}\\{16（k-1）^{2}-12（{k}^{2}+4k-5）＜0}\end{array}\right.$，解得k∈[1，19），⑤错误．
∴正确命题的序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了函数定义域的求法，属中档题．