Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$．
（1）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式．
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{（{b}_{n}+1）^{2}{n}^{2}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$，当n=1时，a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}-\frac{8}{3}$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．利用等比数列的通项公式可得a_n．再利用对数的运算性质可得：b_n．
（2）设c_n=$\frac{2n+1}{（2n+2）^{2}•{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}-\frac{8}{3}$，解得a₁=8．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{8}{3}）$，化为a_n=4a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为8，公比为4．
∴${a}_{n}=8×{4}^{n-1}$=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=log₂a_n=2n+1．
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{（{b}_{n}+1）^{2}{n}^{2}}$=$\frac{2n+1}{（2n+2）^{2}•{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$，
∴T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{4（n+1）^{2}}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．