Question

14．设函数f（x）=cos²x-asinx+2（a∈R）．
（1）当a=4时，求f（x）在（-∞，+∞）上的最大值和最小值；
（2）已知函数f（x）在（-∞，+∞）上的最大值为5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）首先，将所给的值代入原函数，然后，化简函数解析式，利用换元法转化成二次函数的最值问题即可；
（2）结合（1），对函数的对称轴的位置进行讨论，然后确定其最大值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=cos²x-asinx+2
=1-sin²x-asinx+2
=-sin²x-asinx+3（a∈R），
∴f（x）=-sin²x-asinx+3，
∵a=4，
∴f（x）=-sin²x-4sinx+3．
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=-t²-4t+3=-（t+2）²+7
显然，该函数在区间[-1，1]内为减函数，最大值为6，最小值为-2；
（2）根据（1）知f（x）=-sin²x-asinx+3，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=-t²-at+3=-（t+$\frac{a}{2}$）²+7+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当-$\frac{{a}^{2}}{2}$＜-1，即a²＞2时，函数y在[-1，1]上为减函数，
∴最大值为-1+a+3=2+a；
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上的最大值为5，
∴2+a=5，∴a=3；
当-1＜-$\frac{{a}^{2}}{2}$＜1，即0≤a²≤2时，函数y在[-1，1]上最大值为7+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上的最大值为5，
∴7+$\frac{{a}^{2}}{4}$=5，
显然，此时无解，
∴a的值为3．

点评 本题重点考查了三角函数的单调性与值域、同角三角函数基本关系式等知识，属于中档题．