Question

（05年广东卷）（14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值．

Answer 1

解析: （Ⅰ）( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程，

( ii ) 当时，设A点落在线段上的点，

，则直线的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）

为，

∴折痕所在的直线方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：

（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

由（Ⅰ）知，，∵，∴，

 

设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，

( i ) 当时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ；

( ii )当时，

设，，

时，l与线段AB相交，此时，

时，l与线段BC相交，此时，

时，l与线段AD相交，此时，

时，l与线段DC相交，此时，

∴将k所在的分为３个子区间：

①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，

 折痕的长，

∴，

②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得  ，

故当时，是减函数，当时，是增函数，

∵，，

∴，

∴当时，，

，

∴当时， ，

③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，

折痕的长，

 ∴，即，

综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．