Question

已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围.
注：是自然对数的底数

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）将代入函数解析式，并将函数解析式中的绝对值去掉，写成分段函数，并将定义域分为两部分：与，利用导数分别求出函数在区间与上的最大值与最小值，然后进行比较，最终确定函数在区间上的最大值与最小值；（Ⅱ）利用参数分离法将不等式进行转化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求参数的取值范围，不过在去绝对值符号的时候要对自变量的范围进行取舍（主要是自变量的范围决定的符号）.
试题解析：(Ⅰ) 若，则.
当时，，
，
所以函数在上单调递增；
当时，，
.
所以函数在区间上单调递减，
所以在区间上有最小值，又因为，
，而，
所以在区间上有最大值.
(Ⅱ)函数的定义域为．
由，得．           （*）
（ⅰ）当时，，，
不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）当时，
①当时，由得，即，
现令， 则，
因为，所以，故在上单调递增，
从而的最小值为，因为恒成立等价于，
所以；
②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.
综上可得，满足条件的的取值范围是.