Question

求

lim

n→∞

1+3+32+…+3n-1

3n+an+1

的值．

Answer 1

分析：先根据等比数列的求和公式进行化简，然后讨论a与3的大小关系，分别求出极限值即可．

解答：解：

lim

n→∞

1+3+32+…+3n-1

3n+an+1

=

lim

n→∞

3n-1

2(3n+an+1)

=

lim

n→∞

1 - 1 3n

2[1 +a( a 3 )n]

当0＜a＜3时，

lim

n→∞

1+3+32+…+3n-1

3n+an+1

=

1

2

当a=3时，

lim

n→∞

1+3+32+…+3n-1

3n+an+1

=

1

8

当a＞3时，

lim

n→∞

1+3+32+…+3n-1

3n+an+1

=0

点评：本题主要考查了等比数列的求和，以及数列的极限，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．