Question

（2008•奉贤区二模）已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，q＞1，求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）若a₁=1；对①q=

1

2

和②q=-

1

2

时，分别研究S_n的最值，并说明理由；
（3）若首项a₁=10，设q=

1

t

，t是正整数，t满足不等式|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，问：这样的数列{a_n}有几个？

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的求和公式，进而可求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）当q=

1

2

时，Sn=2-(

1

2

)n-1，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，此时S_n有最小值为1，但无最大值当q=-

1

2

时，Sn=

2

3

[1-(-

1

2

)n]，分n是偶数，奇数讨论求最大值与最小值
 （3）根据t满足不等式|t-63|＜62，可确定q的范围，进而可得S_n随着n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求解．

解答：解：（1）Sn=

(1-qn)

1-q

，则

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

qn-1

(1-qn) 1-q

=

lim

n→∞

1 q •qn-qn

1-qn

=

lim

n→∞

1 q -1

( 1 q )n-1

=

q-1

q

----（5分）
（2）当q=

1

2

时，Sn=2-(

1

2

)n-1，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此时S_n有最小值为1，但无最大值．-------------------------------（3分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
当q=-

1

2

时，Sn=

2

3

[1-(-

1

2

)n]
若n=2k，k∈N^*时，Sn=

2

3

[1-(

1

4

)k]，所以S_n随k的增大而增大，
即n是偶数时，S2≤Sn＜

2

3

，即

1

2

≤Sn＜

2

3

若n=2k-1，k∈N^*时，Sn=

2

3

[1+2(

1

4

)k]，所以S_n随k的增大而减小，
即n是奇数时，

2

3

＜Sn≤S1，即

2

3

＜Sn≤1
所以

1

2

≤Sn≤1，S_n有最大值为1，最小值为

1

2

．---（4分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
（3）|t-63|＜62⇒-62＜t-63＜62⇒1＜t＜125⇒q=

1

t

∈(0，1)．
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

10[1-( 1 t )n]

1- 1 t

且S_n随着n的增大而增大

lim

n→∞

Sn≤12⇒

10

1- 1 t

≤12-----------------------（3分）⇒

5

6

≤1-

1

t

⇒

1

t

≤

1

6

⇒t≥6⇒t∈[6，125)-----------------------------（2分）
t∈N^*⇒124-6+1=119个．----------------------------------------（1分）

点评：本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．