Question

已知圆的方程为，过点作直线与圆交于、两点。

(1)若坐标原点O到直线AB的距离为，求直线AB的方程；
(2)当△的面积最大时，求直线AB的斜率；
(3)如图所示过点作两条直线与圆O分别交于R、S,若，且两角均为正角，试问直线RS的斜率是否为定值，并说明理由。

Answer 1

（1）直线AB的方程为；
(2) 时△面积最大,此时直线AB的斜率为 ；
（3）直线RS的斜率为定值。

试题分析：（1）设过点的直线方程为，∵原点到直线AB的距离为，∴则，∴直线AB的方程为   4′
(2)直线AB的方程：代入圆的方程得
由韦达定理得,
∵   7′
∴当时,即时△面积最大,此时直线AB的斜率为   10′
（3）设点，将直线RS的方程，代入圆的方程得


由韦达定理得①
，则
即(*)，
又∵②
则①②代入(*)式整理得，即，当时，
直线RS过定点不成立，故直线RS的斜率为定值       16′
（注：若用其他正确的方法请酌情给分）
点评：中档题，研究直线与圆的位置关系，半径、弦长一半、圆心到直线的距离所构成的“特征三角形”是重点，另外，通过构建方程组，得到一元二次方程后，应用韦达定理，实现整体代换较为普遍。本题考查知识覆盖面广，对考生计算能力、数形结合思想有较好考查。