Question

如图，α-l-β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP与l所成的角相等，则MN与β所成角为    ．

Answer 1

【答案】分析：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD，根据已知中α-l-β为60°的二面角，三角形PMN为等腰直角三角形，设∠MNB=θ，MN=a，我们易得到△BPD∽△PNC，然后根据相似三角形对应线段成比例，可以构造关于θ方程，解方程即可同MN与β所成角．
解答：解：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，连接AP、PB、BN、AM，
再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD．
设∠MNB=θ，MN=a，则PB=PN=a，MB=NA=asinθ，NB=acosθ?，
∵MB⊥β，BD⊥l，
∴MD⊥l，∴∠MDB是二面角α-l-β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°，
∴BD=AC=MB=asinθ，CN=DM==asinθ，
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°，∠DPB=∠CNP，∴△BPD∽△PNC，∴=
即=
∴=
整理得，16sin⁴θ-16sin²θ+3=0
解得sin²θ=，sinθ=，
当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去．
∴sinθ=，
∴MN与β所成角为30°．
故答案为：30°．
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，与二面角有关的立体几何综合题，本题难度比较大，处理起来比较麻烦，其中作出辅助线后得到△BPD∽△PNC，进而根据似三角形对应线段成比例，构造关于θ方程，是解答本题的关键．