Question

已知离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求该圆的方程，并求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用离心率为的椭圆的焦距为4，求出几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设出方程与椭圆方程联立，利用该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，即可求出圆的方程，表示出|AB|，即可求|AB|的最大值．
解答：解：（1）由题意，2c=4，，∴c=2，a=2
∴b²=a²-c²=4，∴椭圆E的方程为=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，则△=8（8k²-m²+4）＞0，∴8k²-m²+4＞0
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=
要使⊥，只需x₁x₂+y₁y₂=0，即，所以3m²-8k²-8=0，
所以k²=≥0
又8k²-m²+4＞0，所以，所以，即或，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或；
当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆=1的两个交点为（，±）或（-，±）满足⊥，
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥．
因为x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以|AB|=|x₁-x₂|=，
当k≠0时，|AB|=
因为≥8，所以，所以
当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=．
综上可得
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，综合性强．