Question

已知离心率为的椭圆，左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分别是直线上的两上动点，且的最小值为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过定点P（m，0）的直线交椭圆于B、E两点，A为B关于x轴的对称点（A、P、B不共线），问：直线AE是否会经过x轴上一定点，并求AE过椭圆焦点时m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由e=得a=2c，得=4c，利用=0求出点M、N的坐标与c之间的关系，再利用两点间的距离公式求出|MN|的表达式，进而利用其最小值求出椭圆方程；
（Ⅱ）先把直线PB方程与椭圆方程联立，求出B、E两点坐标之间的等式并表示出直线AE的方程，令y=0得x，看此时求出的x的值是否为定值即可，再利用AE过椭圆焦点即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由e=得a=2c，于是=4c，
设M（4c，y₁），N（4c，y₂），
因为=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，
∴||===≥，
∴=2⇒c=1，a=2，b=．
椭圆方程为=1．
（Ⅱ）设PB方程为y=k（x-m），代入=1
得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则A（x₁，-y₁），
直线AE的方程为y-y₂=（x-x₂），令y=0得x=，
又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=，
而x₁+x₂=，代入得x=，
所以AE过轴上定点（，0），
要使AE过椭圆焦点则．
所以m=±4．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及平面向量，两点间的距离公式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识．