Question

已知向量

a

=(1，

2

)，

b

=(-

2

，1)，若存在正数k和t，使得向量

c

=

a

+(t2+1)

b

与

d

=-k

a

+

1

t

b

互相垂直，则k的最小值是______．

Answer 1

由题意可得

c

=

a

+(t2+1)

b

=（1-

2

t²-

2

，

2

+t²+1），

d

=-k

a

+

1

t

b

=（-k-

2

t

，-

2

k+

1

t

）．
∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=（1-

2

t²-

2

）（-k-

2

t

）+（

2

+t²+1）（-

2

k+

1

t

）=-3（k-t-

1

t

）=0，
∴k=t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时，取等号，故k的最小值为2，
故答案为2．