Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在AA₁上是否存在一点D，使得二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）D为AA₁中点，推出平面B₁CD内的直线CD，垂直平面B₁C₁D内的两条相交直线DC₁，B₁C₁可得CD⊥平面B₁C₁D，即可得到
平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在平面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，则EB₁⊥CD，可得∠B₁EC₁为二面角B₁-CD-C₁的平面角，设AD=x，
△DCC₁的面积为1求出x，在AA₁上存在一点D满足题意．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA₁上存在一点D满足题意．
解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁（1分）∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD（2分）
由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，可知，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁（4分）
又B₁C₁⊥CD∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）

（Ⅱ）解：当时二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．（7分）
假设在AA₁上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
如图，在平面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB₁，则EB₁⊥CD
所以∠B₁EC₁为二面角B₁-CD-C₁的平面角（8分）
∴∠B₁EC₁=60°
由B₁C₁=2知，（10分）
设AD=x，则
∵△DCC₁的面积为1∴
解得，即
∴在AA₁上存在一点D满足题意（12分）

解法二：
（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC₁
所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）．
即（2分）
由得
由得（4分）
又DC₁∩C₁B=C₁
∴CD⊥平面B₁C₁D又CD?平面B₁CD
∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）

（Ⅱ）当时二面角B₁-CD-C₁的大小为60°．（7分）
设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），

设平面B₁CD的法向量为
则由令z=-1
得（8分）
又∵为平面C₁CD的法向量
则由（10分）
解得，故．
∴在AA₁上存在一点D满足题意（12分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．