Question

5．已知数列{a_n}满足：a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1…是首项为1，公比为3的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₁=1，a_n-a_n-1=3^n-1，n＞1．运用等比数列的求和公式，可得{a_n}的通项公式；
（2）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算化简即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得a₁=1，a_n-a_n-1=3^n-1，n＞1．
可得a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+a_n-a_n-1=1+3+…+3^n-1，
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）；
（2）前n项和S_n=$\frac{1}{2}$[（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）]
=$\frac{1}{2}$（3+3²+…+3ⁿ-n）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n]=$\frac{{3}^{n+1}-2n-3}{4}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．