Question

（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b²，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b²的范围，即可求出b的范围．

解答：解：（1）由已知得：-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
即sinAsinB-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB-

3

cosB=0，即tanB=

3

，
又B为三角形的内角，
则B=

π

3

；
（2）∵a+c=1，即c=1-a，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3a（1-a）=3（a-

1

2

）²+

1

4

，
∵0＜a＜1，∴

1

4

≤b²＜1，
则

1

2

≤b＜1．

点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．