Question

（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C=

2π

3

，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin²B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b²，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．
（2）若C=

2π

3

，由（1）可得c=2b-a，由余弦定理可得 （2b-a）²=a²+b²-2ab•cosC，化简可得 5ab=3b²，由此可得

a

b

的值．

解答：解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin²B．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b²，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
（2）若C=

2π

3

，由（1）可得c=2b-a，由余弦定理可得 （2b-a）²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²+ab．
化简可得 5ab=3b²，∴

a

b

=

3

5

．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．