Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其中左焦点F（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于两个不同的两点A，B，且线段的中点M总在圆x²+y²=1的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：（Ⅰ）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其中左焦点F（-2，0），建立方程组，求出a，b，由此能够得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），由直线代入椭圆方程消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为

2

2

，其中左焦点F（-2，0）．
∴

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2

，
∴a=2

2

，b=2，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由直线代入椭圆方程消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，∴-2

3

＜m＜2

3

．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

2m

3

，y₀=x₀+m=

m

3

．
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上的内部，
∴（-

2m

3

）²+（

m

3

）²＜1，
∴-

3 5

5

＜m＜

3 5

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．