Question

3．已知函数f（x）=log₄（x²-2x+3）在区间（-∞，a]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 可令x²-2x+3=t，这样便得出f（x）是由y=log₄t和t=x²-2x+3复合而成的复合函数，显然y=log₄t为增函数，从而根据复合函数的单调性，求函数t=x²-2x+3在f（x）定义域上的单调减区间，便是f（x）的单调减区间，根据已知的f（x）在（-∞，a]上为减函数即可得出实数a的取值范围．

解答 解：令x²-2x+3=t，t≥2，所以原函数是由y=log₄t，和t=x²-2x+3复合而成的复合函数；
不等式x²-2x+3＞0恒成立，即函数f（x）的定义域为R；
函数y=log₄t在[2，+∞）上为增函数；
根据复合函数的单调性，t=x²-2x+3在R上的减区间便是f（x）的减区间；
二次函数t=x²-2x+3的对称轴为x=1，∴该二次函数在（-∞，1）上单调递减；
∴f（x）的单调减区间为（-∞，1）；
又f（x）在区间（-∞，a]上为减函数；
∴a≤1；
∴实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 考查复合函数的定义，复合函数的单调性的判断方法，以及二次函数的单调性及单调区间的求法，对数函数的单调性，注意要在定义域内找单调区间．