Question

（2012•密云县一模）给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数．
其中正确的命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据所给定义及函数的性质：奇偶性、周期性和单调性的定义，再结合条件和命题进行解答．

解答：解：结合周期函数的性质：f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），则周期为1，
得函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]，所以①正确；
由题意得，f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称，②正确；
∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），∴周期为1，故③正确；
当m=0时，f（x）=|x|，值域为值域为[0，

1

2

]，函数在[-

1

2

，0]单调递减，函数在[0，

1

2

]单调递增，
因此④不正确；
故选C．

点评：本题是一道以函数为背景的信息题，主要考查利用信息分析问题和解决问题的能力、函以及数的重要性质：奇偶性、周期性和单调性的应用，难度较大．