题目内容
（2012•密云县一模）若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足．对于任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2011，且x＞0时，有f（x）＞2011，f（x）的最大值，最小值分别为M，N，则M+N的值为（ ）
分析：构造函数：g（x）=f（x）-2011，可得函数g（x）是奇函数，且在[-2010，2010]上是增函数．由此可得g（x）最大值为g（2010）=m，则最小值为g（-2010）=-m，再结合f（x）与g（x）的关系，不难得到f（x）的最大值与最小值的和M+N．
解答：解：令g（x）=f（x）-2011，由已知条件
对任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2011，
∴f（x1+x2）-2011=[f（x1）-2011]+[f（x2）-2011]，
可得g（x1+x2）=g（x1）+g（x2）
∵x＞0时，有f（x）＞2011，∴x＞0时，g（x）＞0
令x1=x2=0，可得g（0）=0
令x1=x，x2=-x，可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，
所以 g（-x）=-g（x），得 g（x）是奇函数
∵g（x1）-g（x2）=g（x1）+g（-x2）=g（x1-x2）
∴当x1＞x2时，g（x1-x2）＞0，得g（x1）＞g（x2），所以g（x）是[-2010，2010]上的增函数
由此可得 g（x） 最大值为g（2010）=m，则最小值为g（-2010）=-m
因此，由f（x）=g（x）+2011 得 f（x） 最大值为M=m+2011，最小值为-m+2011，
所以 M+N=m+2011+（-m）+2011=4022
故答案为：C
对任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2011，
∴f（x1+x2）-2011=[f（x1）-2011]+[f（x2）-2011]，
可得g（x1+x2）=g（x1）+g（x2）
∵x＞0时，有f（x）＞2011，∴x＞0时，g（x）＞0
令x1=x2=0，可得g（0）=0
令x1=x，x2=-x，可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，
所以 g（-x）=-g（x），得 g（x）是奇函数
∵g（x1）-g（x2）=g（x1）+g（-x2）=g（x1-x2）
∴当x1＞x2时，g（x1-x2）＞0，得g（x1）＞g（x2），所以g（x）是[-2010，2010]上的增函数
由此可得 g（x） 最大值为g（2010）=m，则最小值为g（-2010）=-m
因此，由f（x）=g（x）+2011 得 f（x） 最大值为M=m+2011，最小值为-m+2011，
所以 M+N=m+2011+（-m）+2011=4022
故答案为：C
点评：本题给出抽象函数，通过讨论它的奇偶性和单调性，求函数最大最小值的和．考查了函数单调性与奇偶性相综合的问题的理解，属于中档题．
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