Question

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE＝1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．

（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）此题关键是建立空间坐标系，需要找三条两两垂直的直线，注意到△ABC是边长为2的等边三角形，可考虑取AB的中点O，则，取BD的中点为G，则，从而得到三条两两垂直的直线，这样就可以建立空间坐标系，根据题中条件，求出个点坐标，要证明面，只需证平行平面的一个法向量即可，此题也可以用传统方法来解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一个法向量，利用法向量来求即可，值得注意的是，需要判断二面角是钝角还是锐角，否则求出的值不对.
试题解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连结OC,OD，则，即是与平面所成角，，取BD的中点为G，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则，取BC的中点为M，则面
，所以，所以面；
 
（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一个法向量，又，设平面BCE的一个法向量,由,由此得平面BCE的一个法向量  则，所以二面角的平面角的余弦值为．