Question

已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由 ，得 ．再由椭圆C经过点，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由 ，
得 ．   ①…（2分）
由椭圆C经过点，得．    ②…（3分）
联立①②，解得 b=1，．  …（4分）   
所以椭圆C的方程是 ．  …（5分）
（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k²）x²+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，． …（9分）
所以 ．     …（10分）
因为 ，
设 k²-1=t（t＞0），
则 ．   …（13分）
当且仅当，即时等号成立，
此时△AOB面积取得最大值．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算．考查运算推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．