Question

【题目】已知函数．

（1）证明：函数f（x）在（0，π）上是减函数；

（2）若， ，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（﹣∞，0]．

【解析】

（1）求导，结合基本不等式可得≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得证；

（2）当m≤0时，由（1）在上成立；当m＞0时，利用导数可推导存在，使得与矛盾，综合即可得出结论．

（1）因为，

则，当且仅当sinx＝1时取等号，

故函数在（0，π）上是减函数；

（2）因为，当m≤0时，由（1）知，成立；

当m＞0时，令，＝﹣sinx+1＞0，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴，

令，

则，

，

令＝2mcos2x﹣x，＝﹣4mcosxsinx﹣1＜0，

∴在上单调递减，

则在上递增，

∵，

∴存在，使得q（t）＝0，即时，＞＝0，

∴＞0，则在递增，故，

∴存在，使得与矛盾，

∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]．