Question

【题目】已知函数，若在处的切线为．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设其中，证明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求出，，建立方程，求解即可得到结论；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论，将问题转化为对任意恒成立，令

，而是偶函数，只需时，恒成立，注意，只需在单调递增即可，若存在单调递减，则不恒成立，转化为研究在单调性，即可求解；

（Ⅲ）由，利用（Ⅱ）的结论，可得，．进而得到

，将分别用，代入得到个不等式，相加即可证明结论.

（Ⅰ）由，得；

由，得．

根据题意可得，解得；

（Ⅱ）解法一：由不等式对任意恒成立知恒成立，令，

显然为偶函数，故当时，恒成立．

，令，

，令，

显然为上的增函数，故，

即在上单调递增，．

①当，即时，，

则有在上单调递增，故，

则在上单调递增，故，符合题意；

②当，即时，因为，

故存在，使得，

故在上单调递减，在上单调递增，

当时，，

故在上单谓递减，故与矛盾．

综上，．

解法二：由不等式对任意恒成立，

知恒成立，当时，不等式成立；

当时，，令，

由于为偶函数，故只需考虑的情况即可．

当时，．

令，，

令，，

当时，，故在上单调递增，

故．

因此当时，，故在上单调递增，

即有，故，

所以在上单调递增，由洛必达法则有，故．

（Ⅲ）解法一：

，

由（Ⅱ），当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立．故，当且仅当时等号成立．

因此有，

，

以上个式子相加得

．

解法二：由（Ⅱ）知，

当且仅当时等号同时成立．

故，

，

以上个式子相加得

．