Question

在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求

an

an+1

的最大值．

Answer 1

（1）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3n（n=1，2，3）
得a₂=-a₁+3=3，
a₃=-a₂+3²=6．
（2）由a_n+1=-a_n+3ⁿ变形得
a_n+1-

3n+1

4

=-（a_n-

3n

4

），
∴{a_n-

3n

4

}，是首项为a₁-

3

4

=-

3

4

公比为-1的等比数列
∴a_n-

3n

4

=-

3

4

（-1）^n-1
∴a_n=

3n

4

+（-1）ⁿ•

3

4

（n=1，2，3…）
（3）①当n是偶数时

an

an+1

=

3n 4 + 3 4

3n+1 4 - 3 4

=

3n+3

3n+1-3

=

1

3

+

4

3n+1-3

∴

an

an+1

随n增大而减少
∴当n为偶数时，

an

an+1

最大值是

1

2

．
②当n是奇数时

an

an+1

=

3n 4 - 3 4

3n+1 4 + 3 4

=

3n-3

3n+1+3

=

1

3

-

4

3n+1+3

∴

an

an+1

随n增大而增大且

an

an+1

=

1

3

-

4

3n+1+3

＜

1

3

＜

1

2

综上

an

an+1

最大值为

1

2

．