Question

已知双曲线的右准线为y轴，且经过（1，2）点，其离心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求双曲线的离心率；
（2）求双曲线右顶点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的离心率为e，由双曲线的性质可得：e＞1，再解方程即可得到双曲线的离心率．
（2）设双曲线右顶点的坐标为（x，y）（x＞0），实半轴长，虚半轴长及半焦距分别为a，b，c，由（1）可得：c=2a，由双曲线的右准线为y轴可得a=2x，c=4x，进而得到双曲线的右焦点F为（3x，y），再根据双曲线的定义即可得到答案．

解答：解：（1）设双曲线的离心率为e，由双曲线的性质可得：e＞1，
因为方程2x²-5x+2=0的解是x1=

1

2

，x₂=2，
所以e=2，即所求离心率为2．
（2）设双曲线右顶点的坐标为（x，y）（x＞0），实半轴长，虚半轴长及半焦距分别为a，b，c，由

c

a

=2得c=2a，b=

3

a．
因为双曲线的右准线为y轴，
所以x=a-

a2

c

=a-

a

2

=

a

2

，即a=2x，c=4x，
所以双曲线的右焦点F为（3x，y）．
因为双曲线经过（1，2）点，
所以

(3x-1)2+(y-2)2

1

=e=2，
所以整理可得：（3x-1）²+（y-2）²=4．
所以双曲线右顶点的轨迹方程为（3x-1）²+（y-2）²=4．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的定义、方程与有关的性质，以及求轨迹的方法，如此题运用的直接法，还有间接法，相关点代入法，定义法，交轨法等方法．