Question

设△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c若

m

=（a，c），

n

=（cosC，

1

2

）且

m

•

n

=b．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=2sinxsinAcosx+2cos² xsinA-sinA在区间[0，

π

4

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由

m

•

n

=b 可得 a•cosC+

c

2

=b，再由正弦定理可得 

sinC

2

=cosAsinC，求出 cosA=

1

2

，可得A的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

6

2

sin（2x+

π

4

），由x的范围求出2x+

π

4

的范围，从而求得函数f（x）的范围．

解答：解：（1）△ABC中，由

m

•

n

=b 可得 a•cosC+

c

2

=b，
∴sinAcosC+

sinC

2

=sinB=sin（A+C），
∴

sinC

2

=cosAsinC，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（2）函数f（x）=2sinxsinAcosx+2cos² xsinA-sinA=

3

2

sin2x+

3

cos² x-

3

2

=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

6

2

 sin（2x+

π

4

）．
∵0≤x≤

π

4

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴当 2x+

π

4

=

π

2

时，函数取得最大值为

6

2

，当 2x+

π

4

=

π

4

时，函数取得最小值为

3

2

，
故函数在区间[0，

π

4

]上的取值范围是[

3

2

，

6

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的值求角，求三角函数的值域，属于中档题．