题目内容

设△ABC的∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c若 $数学公式$ =（a，c）， $数学公式$ =（cosC， $数学公式$ ）且 $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=2sinxsinAcosx+2cos²xsinA-sinA在区间[0， $数学公式$ ]上的取值范围．

解：（1）△ABC中，由 $\text{[math]}$ 可得 a•cosC+ $\text{[math]}$ =b，
∴sinAcosC+ $\text{[math]}$ =sinB=sin（A+C），
∴ $\text{[math]}$ =cosAsinC，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，
∴A= $\text{[math]}$ ．
（2）函数f（x）=2sinxsinAcosx+2cos²xsinA-sinA= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos²x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴当 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数取得最大值为 $\text{[math]}$ ，当 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值为 $\text{[math]}$ ，
故函数在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的取值范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）△ABC中，由 $\text{[math]}$ 可得 a•cosC+ $\text{[math]}$ =b，再由正弦定理可得 $\text{[math]}$ =cosAsinC，求出 cosA= $\text{[math]}$ ，可得A的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由x的范围求出2x+ $\text{[math]}$ 的范围，从而求得函数f（x）的范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的值求角，求三角函数的值域，属于中档题．