Question

5．己知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，前n项和S_n与a_n的关系是S_n=n（2n-1）a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通过S_n=n（2n-1）a_n与S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-5}{2n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，累乘计算即得结论．

解答 解：∵S_n=n（2n-1）a_n，
∴S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1，
两式相减得：a_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1-n（2n-1）a_n，
整理得：（2n+3）a_n+1=（2n-1）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-5}{2n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$•$\frac{2n-5}{2n-1}$•…•$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{（2n+1）（2n-1）}$，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{3}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．