Question

【题目】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】分析：（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明。

（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值。

详解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.

由题设得，

设是平面MAB的法向量,则

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.