题目内容

已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)
（1）当
a
⊥
b
时，求x的取值集合
（2）求函数f(x)=
a
•(
b
-
a
)的单调递增区间．
分析：（1）利用向量的数量积，结合
a
⊥
b
时，数量积为0，求出x的取值集合
（2）化简函数f(x)=
a
•(
b
-
a
)的表达式，结合正弦函数的单调增区间，求出函数的单调递增区间．
解答：解：（1）向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)，又∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0，
故sinxcosx-
1
2
=0，即sin2x=1，所以2x=2kπ+
π
2
，k∈Z，
解得x=kπ+
π
4
，k∈Z，
x的取值集合{x|x=kπ+
π
4
，k∈Z}
（2）∵f(x)=
a
•(
b
-
a
)=sinxcosx-sin2x-
3
2

=
2
2
sin（2x+
π
4
）-2
当2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
    k∈Z
时，函数的单调增区间解得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
   k∈Z
函数f(x)=
a
•(
b
-
a
)的单调递增区间[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]   k∈Z．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，向量的数量积的应用，考查计算能力，常考题型．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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