Question

18．若函数f（x）=$\frac{a-sinx}{cosx}$在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上单调递增，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，建立不等式，利用参数分离法进行求解即可，

解答 解：函数f′（x）=$\frac{-co{s}^{2}x-（a-sinx）（-sinx）}{co{s}^{2}x}$=$\frac{-co{s}^{2}x+asinx-si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=$\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$，
若f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，即asinx-1≥0在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上恒成立，
即asinx≥1，
则a≥$\frac{1}{sinx}$
∵$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{1}{2}$＜sinx＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{1}{sinx}$＜2，
则a≥2
故答案为：[2，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力．