Question

已知,

设.

(Ⅰ)求的表达式；

(Ⅱ)若函数和函数的图象关于原点对称，

（ⅰ）求函数的解析式；

（ⅱ）若函数在区间上是增函数，求实数l的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ)；（Ⅱ）函数的解析式为= -sin²x+2sinx ；

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ)

   4分

（Ⅱ）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为

则,  .5分

∵点在函数的图象上

,即

∴函数的解析式为= -sin²x+2sinx      7分

（Ⅲ）

设   9分

则有

当时，(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1   11分

当时，对称轴方程为直线.

ⅰ) 时，，解得

ⅱ)当时，,解得

综上:.

实数l的取值范围为  14分

考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数和差倍半公式的应用，二次函数图象和性质。

点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”，这是常考题型。首先运用“三角公式”进行化简，为进一步解题奠定了基础。（3）小题利用“换元思想”，转化成二次函数在闭区间的单调性研究问题，根据图象对称轴受到的限制，求得实数l的取值范围。