Question

16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知tanA+tanC=$\frac{5}{4}$tanAtanC，且a、b、c成等比数列．
（1）求sinB的值；
（2）若△ABC的面积为4，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和正弦定理以及两角和差的正弦公式，即可求得sinB；
（2）由三角形的面积公式S=acsinB，计算得到ac，再根据向量的数量积运算即可求出答案．

解答 解：（1）∵a、b、c成等比数列．
∴b²=ac，
∴sin²B=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∴sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，
∴sinB•$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，
∴sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∵tanA+tanC=$\frac{5}{4}$tanAtanC，
∴sinB=$\frac{4}{5}$；
（2）∵△ABC的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=4，
∴ac=10，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，b不是最大边，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=10×$\frac{3}{5}$=6．

点评 本题考查两角和的正弦公式和诱导公式，等比数列的性质，正弦定理，三角形的面积公式的运用，向量的数量积的运算，考查运算能力，属于中档题．