Question

如图2-1-21,ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体,在图(1)中E、F分别是D₁C₁、B₁B的中点,画出图(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.

                                            图2-1-21

Answer 1

思路分析:在图2-1-21(1)中过点E作EN平行于BB₁交CD于点N,连结NB并延长交EF的延长线于点M,连结AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.

在图2-1-21(2)中,延长DC,过点C₁作C₁M∥A₁B交DC的延长线于点M,连结BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.

                                  图2-1-22

证明:在图2-1-22(3)中,因为直线EN∥BF,

所以BNEF四点共面.

因此EF与BN相交,交点为M.

因为M∈EF,且M∈NB,而EF平面AEF,NB平面ABCD,

所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.

又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的交线.

在图2-1-22(4)中,C₁M在平面CDD₁C₁内,因此与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A₁C₁B与平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.

  绿色通道:作截面时,要注意截面的完整性,应画出截面图与所给几何体各个面的交线.确定两个平面的交线,就是找两个平面的两个公共点,一般题目都会给出一个公共点,在确定另一个公共点时通常利用分别在已知的两个平面内的两条直线的交点来确定.