Question

设函数，
（Ⅰ）若f（x）在x=1处有极值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上为增函数，求a的取值范围．
（Ⅲ）当a=-1时，函数f（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，由已知f'（1）=3a-3=0，从而求得a=1．再经验证得a=1符合题意；
（Ⅱ）对x∈[2，3]恒成立，分离参数得，对x∈[2，3]恒成立，可求的最大值为，从而得解
（Ⅲ）当a=-1，假设图象上存在两点、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为，由于x＞0时， 故k₁•k₂＞0，从而矛盾，故得解．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），
又，
 由已知f'（1）=3a-3=0，
∴a=1．经验证得a=1符合题意----4分
  （Ⅱ）
对x∈[2，3]恒成立，
∴，
对x∈[2，3]恒成立，
因为x∈[2，3]，所以的最大值为，
所以；-----------------9分
（Ⅲ）当a=-1，假设图象上存在两点、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别为，，
则k₁•k₂=-1＜0（*）      
∵当x＞0时， 
故k₁•k₂＞0与（*）式矛盾，故假设不成立，
∴当a=-1
时，图象上不存在这样的两点使结论成立； …13分
点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查存在性问题，关键是正确运用导函数．