Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中， ，点分别在边上，且， 交于点．现将沿折起，使得平面平面，得到图2．

（Ⅰ）在图2中，求证： ；

（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：(1)先证明 ,再证明,证明平面,从而可得 ;
(2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论.

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中， , ,

∴， ∴即.

∴在图2中， ， .

又∵平面平面，平面平面，

∴平面， ∴，

依题意， ∥且，∴四边形为平行四边形.

∴∥, ∴， 又∵，

∴平面， 又∵平面， ∴.

（Ⅱ）如图1，在中， ， ，

∵∥， ，∴.

如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则

， ， ， ，

∴， ， ，

∵，∴平面，

∴为平面的法向量.

设，则，

设为平面的法向量，则

即，可取，

依题意，有，

整理得，即，∴，

∴当点在线段的四等分点且时，满足题意．