题目内容

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知（2a-c）cosB-bcosC=0，且b= $数学公式$ ，△ABC的面积等于3 $数学公式$ ，求a，c的值．

解：在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC． …（2分）
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA． …（4分）
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB= $\text{[math]}$ ．又∵0＜B＜π，∴B= $\text{[math]}$ ．
由于△ABC的面积等于3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ac•sinB= $\text{[math]}$ ，∴ac=12 ①．
根据余弦定理 b²=13=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=（a+c）²=36，
∴（a+c）²=49，∴a+c=7 ②．
由①②解得 a=3，c=4；或a=4，c=3．
分析：由条件利用正弦定理可得2sinAcosB=sinA，可得cosB= $\text{[math]}$ ，由△ABC的面积等于3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ac•sinB，求得ac=12 ①．再由余弦定理求得a+c=7 ②．综合①②求得a，c的值．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，属于中档题．