Question

y²=2px（p＞0）的弦OA、OB互相垂直，求O在AB上射影M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由KAB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

1 2p ( y 2 1 - y 2 2 )

=

2p

y1+y2

，知AB：y-y1=

2p

y1+y2

(x-x1)，再由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0，y₁y₂=-4p²，由此能求出O在AB上射影M的轨迹方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
则：KAB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

1 2p ( y 2 1 - y 2 2 )

=

2p

y1+y2

∴kOM=-

y1+y2

2p

（2分）
∴AB：y-y1=

2p

y1+y2

(x-x1)（4分）
即：（y₁+y₂）y-y₁²-y₁y₂=2px-2px₁
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²（-y₁y₂）且y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-4p²
又y₁²=2px₁
∴（y₁+y₂）y=2px-4p²（8分）
OM：y=-

y1+y2

2p

x（10分）
∴x²+y²-2px=0（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的合理运用．