Question

（2012•房山区一模）F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则：
①若θ=60°且a＞b，则

a

b

的值为

3

；②a+b=

|AB|=

2p

sin2θ

或

2p(tan2θ+1)

tan2θ

（用p和θ表示）．

Answer 1

分析：①过A、B两点向准线l作垂线AC、BD，由抛物线定义知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，过B作BE⊥AC，E为垂足，则可得|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，|AB|=|FA|+|FB|=a+b，利用∠BAE=∠AFx=60°，可得结论；
②设直线方程为x=my+

p

2

，代入抛物线y²=2px可得y²-2pmy-p²=0，利用韦达定理，表示弦长，化简可得结论．

解答：解：①过A、B两点向准线l作垂线AC、BD，由抛物线定义知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，
过B作BE⊥AC，E为垂足，∴|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，
又|AB|=|FA|+|FB|=a+b，∠BAE=∠AFx=60°．
在直角△AEB中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

，所以cos60°=

a-b

a+b

∴a=3b
∴

a

b

=3
②设直线方程为x=my+

p

2

，代入抛物线y²=2px可得y²-2pmy-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2pm，∴x₁+x₂=2pm²+p
∴a+b=|AB|=x₁+x₂+p=2pm²+2p
当θ≠

π

2

时，∵

1

m

=tanθ，∴m=

1

tanθ

，∴a+b=|AB|=2pm²+2p=

2p(tan2θ+1)

tan2θ

=

2p

sin2θ

当θ=

π

2

时，|AB|=2p，结论同样成立
故答案为：3；

2p

sin2θ

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查抛物线中弦长的计算，正确表示弦长是关键．