Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一个横坐标为2的点到其焦点的距离为

5

2

．
（1）求p的值；
（2）若A是抛物线y²=2px上的一动点，过A作圆M：（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交y轴于B、C两点，当A点横坐标大于2时，求△ABC的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线y²=2px（p＞0）上一个横坐标为2的点到其焦点的距离为

5

2

，由抛物线的定义可得结论；
（2）确定直线AB的方程，利用圆心（1，0）到AB的距离为1，建立方程，再利用韦达定理，表示出三角形的面积，利用基本不等式可求△ABC的面积的最小值．

解答：解：（1）由抛物线的定义知，2+

p

2

=

5

2

，所以p=1．…（4分）
（2）设A（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），直线AB的方程为y-b=

y0-b

x0

x，即（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
又圆心（1，0）到AB的距离为1，所以

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，…（8分）
即（y₀-b）²+x02=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x02b²
又x₀＞2，上式化简得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0    …（10分）
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
故b，c是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个实数根
所以b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，…（12分）
则（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

=

4x02

(x0-2)2

，即|b-c|=

2x0

x0-2

，
∴S_△ABC=

1

2

|b-c|x₀=

x02

x0-2

=x₀-2+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8     …（13分）
当（x₀-2）²=4时，上式取等号，此时x₀=4，y=±2

2

因此S_△ABC的最小值为8．…（14分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．