Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（1）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

分析：（1）由已知中AA₁=A₁C，O为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得A₁O⊥AC，又由已知中侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，故A₁O⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线A₁C的方向向量与平面A₁AB的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）设出E点的坐标，根据OE∥平面A₁AB，则OE的方向向量与平面A₁AB的法向量垂直，数量积为零，我们可以求出E点坐标，进而确定E点的位置．

解答：证明：（1）因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，所以A₁O⊥AC．又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．…（3分）
如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
则有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=（1，1，0）．
设平面AA₁B的一个法向量为n=（x，y，z），则有 

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．                                          
 cos＜n，

A1C

＞=

n• A1C

|n|| A1C |

=

21

7

．
∴直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值为

21

7

…（8分）
（2）设E=（x₀，y₀，z₀），

BE

=λ

BC1

，即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

      
所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，
令OE∥平面A₁AB，得

OE

•n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

，
∴存在这样的点E，且E为BC₁的中点．…（12分）

点评：本题考查的知识点是向量语言表述面面垂直、平行关系，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立恰当的空间坐标系，将空间直线与平面的位置关系问题转化为空间向量的夹角问题是解答本题的关键．