Question

【题目】已知F1 ， F2是椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（﹣1， ）在椭圆上，且 =0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 =λ，且满足 ≤λ≤ 时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，由 =0，可得PF1⊥F1F2，

∴c=1，

将点p坐标代入椭圆方程可得 + =1，又由a2=b2+c2，

解得a2=2，b2=1，c2=1，

∴椭圆的方程为 +y2=1．

（2）解：直线l：y=kx+m与⊙x2+y2=1相切，则 =1，即m2=k2+1，

由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=（4km）2﹣4×（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，化简可得2k2＞1+m2，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= = ，

=x1x2+y1y2= = ，

≤ ≤ ，解可得 ≤k2≤1，

|AB|= =2

设u=k4+k2（ ≤k2≤1），

则 ≤u≤2，|AB|=2 =2 ，u∈[ ，2]

分析易得， ≤|AB|≤

【解析】（1）依题意，易得PF1⊥F1F2 ， 进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得 + =1，a2=b2+c2 ， 联立解可得a2、b2、c2的值，即可得答案；（2）根据题意，直线l与⊙x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即 =1，变形为m2=k2+1，联立椭圆与直线的方程，即 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则△＞0，解可得k≠0，可得x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，进而将其代入y1y2=（kx1+m）（kx2+m）可得y1y2关于k的表达式，又由 =x1x2+y1y2= = ，结合题意 ≤λ≤ ，解可得 ≤k2≤1，根据弦长公式可得|AB|=2 ，设u=k4+k2（ ≤k2≤1），则 ≤u≤2，将|AB|用u表示出来，由u [ ，2]分析易得答案．