题目内容

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为 $数学公式$ ，且过点 $数学公式$
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线l：y=kx+m分别切椭圆C与圆M：x²+y²=15于A、B两点，求|AB|的值．

解：（1）设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ a，
∴b²=a²-c²= $\text{[math]}$ a²，
∵椭圆过点 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得a²=25，∴b²=9，
故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ （4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=- $\text{[math]}$ ，②
直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-15=0，
由于直线与圆相切，得m²=15（1+k²），③，x₂=- $\text{[math]}$ ，④
由①③得：k²= $\text{[math]}$ ，m²=24，由②④得：x₂-x₁= $\text{[math]}$ ，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）× $\text{[math]}$ =4
∴|AB|=2，（12分）
分析：（1）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过P求出待定系数，即得椭圆的方程．
（2）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆、圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式，即可求得结论．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．