题目内容

精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，并且焦距为2，短轴与长轴的比是
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆中有如下定理：过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一点M（x0，y0）的切线唯一，且方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1，利用此定理求过椭圆的点(1，
3
2
)的切线的方程；
（3）如图，过椭圆的右准线上一点P，向椭圆引两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：A，F，B三点共线．
分析：（1）设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，利用c=1及
b
a
=
3
2
，a2=b2+c2，解得即可．
（2）利用给出的定理代入即可；
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），利用（2）中给出的定理可得：切线PA，PB，进而得到直线AB的方程是x+
y0
3
y=1．点F（1，0）满足此方程，即可证明A，F，B共线．
解答：精英家教网解：（1）设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，由c=1及
b
a
=
3
2
，又a2=b2+c2．
联立解得a=2，b=
3
，
∴椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由定理得过点A(1，
3
2
)的切线的方程为
x
4
+
y
2
=1，即x+2y-4=0．
（3）设椭圆右准线上的点P（4，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则AP的方程为
x1x
4
+
y1y
3
=1，BP的方程为
x2x
4
+
y2y
3
=1．
又点P（4，y0）在两条切线上，∴x1+
y0
3
y1=1，x2+
y0
3
y2=1．
∴直线AB的方程是x+
y0
3
y=1．
该直线过点F（1，0），故A，F，B共线．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、切线的性质、三点共线等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为6
3
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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