Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知$\overrightarrow{a}$=（2，1），|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$的坐标求出$|\overrightarrow{a}|$，可得|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，结合$\overrightarrow{b}∥\overrightarrow{a}$得$\overrightarrow{b}=±\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{b}$的坐标可求；
（Ⅱ）由两向量垂直得数量积为0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{4}$，再由数量积公式求$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}=（2，1）$，∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，
又|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，
∵$\overrightarrow{b}∥\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}=±\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{b}=（1，\frac{1}{2}）$或$\overrightarrow{b}=（-1，-\frac{1}{2}）$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$垂直，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$）=0，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-5|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{5}{4}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积公式求两向量的夹角，属中档题．